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Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

Lien vers cette vue comparative

--- math_decimal_bernoulli [2010/03/16 11:39]
tyrtamos créée
+++ math_decimal_bernoulli [2010/03/16 13:01]
tyrtamos
@@ Ligne 15: / Ligne 15: @@
   * avec <m>B_0 = 1</m>
-  * et <m>B_i = 0</m> si i = nombre impair >1
+  * et <m>B_i = 0</m> si i est un nombre impair supérieur à 1
+Dans cette formule:
+  * <m>{C_{n+1}}^k</m> est le nombre de combinaison de n+1 objets pris k à k (voir analyse combinatoire sur ce site)
+  * <m>{B_k}</m> est le nombre de Bernoulli pour la valeur k
+Mais en quoi cette équation est-elle "récurrente"?
+Pour le savoir, développons pour n=3:
+  * <m>{{{C_{4}}^0}*{B_0}} ~+~ {{{C_{4}}^1}*{B_1}} ~+~ {{{C_{4}}^2}*{B_2}} ~+~ {{{C_{4}}^3}*{B_3}} ~=~ 0</m>
+Il faudrait donc que l'on puisse calculer <m>B_3</m>.
+Mais là, on voit bien le problème: on connait <m>{B_0}=1</m> par définition, mais pour calculer <m>B_3</m>, il faut calculer avant: <m>B_1</m> et <m>B_2</m>.
+Comment? En appliquant la formule pour n=1 et n=2 et, à chaque fois, en calculant le dernier B.
+Voilà le code qui fait cela (Python version 2.6):
+<code python>
+#!/usr/bin/python
+# -*- coding: utf-8 -*-
+from __future__ import division
+from decimal import *
+##############################################################################
+def combin(n, k):
+    """Nombre de combinaisons de n objets pris k a k"""
+    if k > n//2:
+        k = n-k
+    x = 1
+    y = 1
+    i = n-k+1
+    while i <= n:
+        x = (x*i)//y
+        y += 1
+        i += 1
+    return x
+##############################################################################
+def bernoulli(n):
+    """calcul du nombre de Bernoulli Bn """
+    prec = getcontext().prec
+    getcontext().prec = 50
+    B = [Decimal("1")]
+    for m in xrange(1,n+1):
+        if m>1 and m%2!=0:
+            B.append(Decimal("0"))
+        else:
+            c = Decimal("0")
+            for k in xrange(0,m):
+                c += Decimal(str(combin(m+1,k)))*B[k]
+            B.append(-c/Decimal(str(combin(m+1,m))))
+    getcontext().prec = prec
+    return float(B[n])
+</code>

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